第三章 光学波导 #
光波导是一种利用“全反射”原理，把光信号限定在特定介质层内传输的光学结构，横向尺寸远大于光波长时，可忽略衍射，用几何光学就能描述其折线传播路径。通俗来说，就是有“导向”的光波，将光波限制在特定的区域内传播。
3.1 平面波导的射线光学理论 #
研究光波导常用的两种理论分别是射线光学理论和电磁理论。本节将围绕平板波导中光传播的射线光学模型展开探讨与推导，借助射线光学理论介绍平板波导的基本概念与相关理论，涉及光波导的传播模式（导模）、传播常数、有效波导厚度、波导截止波长、归一化频率等核心内容。
3.1.1 平面光波导结构 #
平面光波导（Planar Waveguide）的核心思路是把光“困”在一层高折射率薄膜里，让它只能沿薄膜平面传播，平面波导的基本结构为：（左为阶跃折射率波导，右为渐变折射率波导）
其中，$n_3,n_1,n_2$从上到下依次为：
上包层（cladding/buffer）：折射率 n₃，通常 n₃ ≤ n₂ < n₁，可把芯层“掩埋”起来，降低表面散射损耗；有时直接是空气（n₃≈1）；
芯层（film/core）：折射率 n₁ 最高，厚度一般 1–10 µm，光主要在这里面传输；
衬底（substrate）：折射率 n₂，略低于 n₁，起机械支撑作用，也是下包层。
两个重要角度： 芯包入射角为：$\theta_{3c}=sin^{-1}\frac{n_3}{n_1}$；芯衬入射角为$\theta_{2c}=sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}$，且有$\theta_{2c}>=\theta_{3c}$。
- 分类：
- 对称波导：$n_2 = n_3$（如对称平板波导）。
- 非对称波导：$n_2 \neq n_3$（如衬底为硅、覆盖层为空气的聚合物波导）。
- 假设条件：波导无损耗、各向同性、非磁性、无源；入射光为单色平面电磁波。
3.1.2 全反射 #
当光从光密介质（折射率高）射向光疏介质（折射率低）时，会发生反射和折射现象。当入射角满足特定条件时，将出现全反射现象，这是光波导能够约束光传播的核心物理机制。
- 关键条件
- 折射率关系：$n_1 > n_2$（芯层为光密介质，相邻介质为光疏介质）；
- 临界角：$\theta_c = \sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}$，即刚好发生全反射时的入射角；
- 全反射条件：入射角$\theta_i > \theta_c$，此时反射系数的模$|r| = 1$，光几乎全部反射，无折射光（折射光退化为倏逝波）；
- 非全反射情况：$\theta_i < \theta_c$时，反射系数$r$为实数，反射率$0 < R < 1$，部分光反射，部分光折射。
- 偏振相关的反射特性
为了求解麦克斯韦方程，把电场/磁场按垂直于界面的分量来分类，于是出现了两种最干净的纯偏振，对应的反射系数为：（由菲涅尔公式推导）
- TE偏振（横电波）：电场方向垂直于入射面，反射系数为
$$r_{TE} = \frac{n_1 \cos\theta_i - i\sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}}{n_1 \cos\theta_i + i\sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}} = e^{-i2\phi_{TE}},$$
其中相位偏移$\phi_{TE}$满足$\tan\phi_{TE} = \frac{\sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2}}{\sqrt{k_0^2 n_1^2 - \beta^2}}$（$\beta = k_0 n_1 \sin\theta_i$为传播常数，$k_0 = \frac{2\pi}{\lambda}$为自由空间波数）； - TM偏振（横磁波）：电场方向平行于入射面，反射系数为
$$r_{TM} = \frac{n_2^2 \cos\theta_i - i n_1\sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}}{n_2^2 \cos\theta_i + i n_1\sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}} = e^{-i2\phi_{TM}},$$
相位偏移$\phi_{TM}$满足$\tan\phi_{TM} = \frac{n_1^2}{n_2^2} \cdot \frac{\sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2}}{\sqrt{k_0^2 n_1^2 - \beta^2}}$。
- TE偏振（横电波）：电场方向垂直于入射面，反射系数为
$$r_{TE} = \frac{n_1 \cos\theta_i - i\sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}}{n_1 \cos\theta_i + i\sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}} = e^{-i2\phi_{TE}},$$
- 波场分布
- 导波（芯层内）：沿z方向（波导纵向）为行波，x方向（波导横向）为驻波，场表达式为 $$E_g = 2E_i \cos(hx - \delta_s) \exp i(\beta z - \omega t)$$
- 倏逝波（衬底层/覆盖层内）：沿x方向（远离芯层方向）振幅指数衰减，无能量传播，场表达式为 $$E_e = E_i \exp(-\alpha x) \exp i(\beta z - \omega t)$$
倏逝波是全反射时的特殊现象，其振幅随远离分界面的距离指数衰减，穿透深度极浅（通常在波长量级），不会向外辐射能量，这一特性保证了光在波导芯层内的有效约束。
3.1.3 平板波导的模式 #
波导模式是指在波导纵向（z方向）振幅保持恒定的横向场分布，不同模式对应不同的场分布和传播特性。
- 模式的数学描述
- 对于平板波导，模式场不依赖于y坐标（横向一维约束），电场和磁场可表示为： $$\begin{cases}&E_v(r,t) = \mathcal{E}_v(x,y) \exp i(\beta_v z - \omega t)\\&H_v(r,t) = \mathcal{H}_v(x,y) \exp i(\beta_v z - \omega t)&\end{cases}$$ 其中$\mathcal{E}_v(x)$、$\mathcal{H}_v(x)$为横向场分布，$\beta_v$为该模式的传播常数，$v$为模式序号；
- 传播常数范围：导模的传播常数满足$k_1 > \beta > k_2 \geq k_3$（$k_1 = k_0 n_1$、$k_2 = k_0 n_2$、$k_3 = k_0 n_3$分别为各层介质中的波数）。
- 模式分类
- 导模：满足$\theta_{3c} < \theta_{2c} < \theta_i$，光在芯层内通过全反射沿z方向锯齿形传播，无能量辐射到衬底层和覆盖层；
- 衬底辐射模：满足$\theta_{3c} < \theta_i < \theta_{2c}$，光在芯层-覆盖层界面发生全反射，但在芯层-衬底层界面发生折射，能量辐射到衬底层；
- 衬底-覆盖层辐射模：满足$\theta_i < \theta_{3c} < \theta_{2c}$，光在两个界面均发生折射，能量辐射到衬底层和覆盖层。
模式是波导的固有属性，不同模式的场分布、传播常数、截止特性均不同。导模是光波导中有用的传播模式，而辐射模会导致能量泄漏，不属于有效传播模式。
3.1.4 平板波导的本征方程 #
导模的传播需要满足相位匹配条件，即光在芯层内锯齿形传播一周后，总相位变化为$2m\pi$（$m$为非负整数），由此可推导得到本征方程，它决定了允许存在的导模及对应的传播常数。
- 物理本质 光在芯层内沿锯齿形路径传播，从一点出发经过两次全反射（芯层-衬底层、芯层-覆盖层）后回到等效位置，总相位变化需为$2m\pi$（相长干涉条件），否则无法形成稳定的导模。
- 本征方程推导 总相位变化包括光在芯层内传播的几何相位变化和全反射时的相位偏移，即：$k_0 n_1 \cdot 2d \cos\theta - 2\phi_{12} - 2\phi_{13} = 2m\pi$，化简后得到：$k_0 n_1 d \cos\theta - \phi_{12} - \phi_{13} = m\pi$（$m = 0,1,2,…$），其中$d$为芯层厚度，$\phi_{12}$、$\phi_{13}$分别为芯层-衬底层、芯层-覆盖层全反射时的相位偏移。
- 简化形式
结合$h_1 = k_0 n_1 \cos\theta$（横向相位常数）、$\gamma_2 = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2}$（衬底层衰减常数）、$\gamma_3 = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_3^2}$（覆盖层衰减常数），以及相位偏移与$h_1$、$\gamma_2$、$\gamma_3$的关系，本征方程可表示为：
- TE模式：$h_1 d = m\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma_2}{h_1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma_3}{h_1}\right)$，进一步化简为 $$\tan(h_1 d) = \frac{h_1(\gamma_2 + \gamma_3)}{h_1^2 - \gamma_2 \gamma_3}$$
- TM模式：$h_1 d = m\pi + \tan^{-1}\left(\frac{n_1^2}{n_2^2} \cdot \frac{\gamma_2}{h_1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{n_1^2}{n_3^2} \cdot \frac{\gamma_3}{h_1}\right)$，进一步化简为 $$\tan(h_1 d) = \frac{n_1^2 h_1(n_3^2 \gamma_2 + n_2^2 \gamma_3)}{n_2^2 n_3^2 h_1^2 - n_1^4 \gamma_2 \gamma_3}$$
- 模式序号的物理意义 $m$为模式序号，$m = 0$对应基模（最低阶模式），$m \geq 1$对应高阶模式。$m$的取值为离散整数，表明只有特定入射角$\theta$和传播常数$\beta$的导模能够存在，即导模具有离散性。
补充知识点：本征方程是求解波导模式特性的核心方程，通过求解本征方程可得到各模式的传播常数、场分布等关键参数，其解的离散性源于相位匹配条件的严格约束。
3.1.5 有效折射率与参数范围 #
- 有效折射率 定义有效折射率$n_\beta = \frac{\beta}{k_0}$，它是描述导模传播特性的重要参数，物理意义是导模在波导中传播的等效折射率。由$\beta = k_0 n_1 \sin\theta$可得$n_\beta = n_1 \sin\theta$，结合导模的入射角范围$\theta_2c < \theta < \frac{\pi}{2}$，有效折射率满足$n_1 > n_\beta > n_2 \geq n_3$。
- 参数范围关联
- 芯层厚度$d$影响：$d$增大时，$n_\beta$增大并趋近于$n_1$，可支持更多高阶模式；$d$减小时，$n_\beta$减小并趋近于$n_2$，高阶模式逐渐被截止；
- 模式序号$m$影响：$m$增大时，$n_\beta$减小，对应的入射角$\theta$减小，模式的横向场分布振荡次数增多。
补充知识点：有效折射率是连接波导结构参数与传播特性的桥梁，通过测量有效折射率可反推波导的芯层折射率、厚度等关键参数，在波导设计和表征中具有重要应用。
3.1.6 传播常数的求解与特性 #
传播常数$\beta$是导模的核心参数，其值由波导结构参数（$n_1,n_2,n_3,d$）和光的波长（或频率）决定，可通过图形法或数值法求解。
- 求解方法
- 图形法：通过绘制$h_1 d$（与入射角$\theta$相关）和$\phi_{12} + \phi_{13}$（相位偏移之和）随$\theta$的变化曲线，曲线交点对应的$\theta$即为允许的入射角，进而可计算出$\beta$；
- 数值法：利用迭代法、牛顿法等数值算法，代入波导结构参数和光的波长，直接求解本征方程得到$\beta$。
- 图形法：通过绘制$h_1 d$（与入射角$\theta$相关）和$\phi_{12} + \phi_{13}$（相位偏移之和）随$\theta$的变化曲线，曲线交点对应的$\theta$即为允许的入射角，进而可计算出$\beta$；
- 关键特性
- $\beta$与频率$\omega$的关系：$\omega$增大（波长$\lambda$减小）时，$\beta$增大并趋近于$k_1$，可支持的导模数量增多；$\omega$减小（波长$\lambda$增大）时，$\beta$减小并趋近于$k_2$，高阶模式逐渐被截止；
- 截止特性：当$\beta = k_2$（即$n_\beta = n_2$）时，模式发生截止，对应的频率、波长、芯层厚度分别称为截止频率$\omega_c$、截止波长$\lambda_c$、截止厚度$d_c$；当$\omega < \omega_c$（或$\lambda > \lambda_c$、$d < d_c$）时，该模式为辐射模，无法在波导中稳定传播。
补充知识点：传播常数的大小直接反映了导模的传播速度（相速度$v_p = \frac{\omega}{\beta}$）和场分布特性，其截止特性是设计单模波导（仅支持基模）或多模波导（支持多个模式）的关键依据。
3.1.7 穿透深度与有效波导厚度 #
- 穿透深度
由于倏逝波的存在，导模的能量会少量渗透到衬底层和覆盖层中，穿透深度定义为倏逝波振幅衰减到表面振幅$\frac{1}{e}$时的距离，反映了能量渗透的程度。
- TE模式：衬底层穿透深度$x_2 = \frac{1}{\gamma_2} = \frac{1}{\sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2}}$，覆盖层穿透深度$x_3 = \frac{1}{\gamma_3} = \frac{1}{\sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_3^2}}$；
- TM模式：衬底层穿透深度$x_2 = \frac{1}{q_2 \gamma_2}$，覆盖层穿透深度$x_3 = \frac{1}{q_3 \gamma_3}$，其中$q_2 = \frac{n_\beta^2}{n_1^2} + \frac{n_\beta^2}{n_2^2} - 1$，$q_3 = \frac{n_\beta^2}{n_1^2} + \frac{n_\beta^2}{n_3^2} - 1$。
- $\gamma_2$为导模在衬底中的衰减因子，$\gamma_3$为导模在包层中的衰减因子
- 有效波导厚度
有效波导厚度是指导模能量主要集中的区域厚度，考虑了芯层厚度和穿透深度，即：
- TE模式：$d_{eff} = d + x_2 + x_3 = d + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}$；
- TM模式：$d_{eff} = d + \frac{1}{q_2 \gamma_2} + \frac{1}{q_3 \gamma_3}$。
- 影响因素 有效波导厚度与模式序号相关：$m$增大（高阶模式）时，$n_\beta$减小，$\gamma_2$、$\gamma_3$减小，穿透深度增大，有效波导厚度增大，光的约束效果变差。
补充知识点：穿透深度和有效波导厚度是波导设计中需要考虑的重要参数，例如在集成光学中，有效波导厚度会影响器件的耦合效率和串扰特性，需通过优化波导结构减小能量渗透。
3.1.8 归一化波导参数 #
为了简化波导特性的分析和设计，引入归一化频率、归一化折射率和非对称因子三个关键归一化参数，使不同结构波导的特性具有可比性。
- 归一化参数定义
- 归一化频率$V$：$V = k_0 d \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \frac{2\pi d}{\lambda} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$，综合反映了芯层厚度、折射率差和光波长的影响，是决定波导支持模式数量的核心参数；
- 归一化折射率$b$：$b = \frac{n_\beta^2 - n_2^2}{n_1^2 - n_2^2}$，描述有效折射率相对于衬底层折射率的提升程度，导模的$b$满足$0 < b < 1$；
- 非对称因子$a$：$a = \frac{n_2^2 - n_3^2}{n_1^2 - n_2^2}$，反映波导衬底层与覆盖层的折射率不对称程度，对称波导的$a = 0$。
- 归一化本征方程
将$h_1 = \frac{V \sqrt{1 - b}}{d}$、$\gamma_2 = \frac{V \sqrt{b}}{d}$、$\gamma_3 = \frac{V \sqrt{b + a}}{d}$代入原本征方程，得到归一化形式：
- TE模式：$V \sqrt{1 - b} = m\pi + \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{b}{1 - b}}\right) + \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{b + a}{1 - b}}\right)$；
- TM模式：$V \sqrt{1 - b} = m\pi + \tan^{-1}\left(\frac{n_1^2}{n_2^2} \sqrt{\frac{b}{1 - b}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{n_1^2}{n_3^2} \sqrt{\frac{b + a}{1 - b}}\right)$。
- 截止条件与模式数量
基模不截止
- 截止时$b = 0$，对应的归一化频率称为截止归一化频率$V_m^c$：
- TE模式：$V_m^c = m\pi + \tan^{-1}\sqrt{a}$；
- TM模式：$V_m^c = m\pi + \tan^{-1}\left(\frac{n_1^2}{n_3^2} \sqrt{a}\right)$。
- 波导支持的模式数量：
- TE模式：$M_{TE} = \left[\frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi} \tan^{-1}\sqrt{a}\right]{int}$（$[\cdot]{int}$表示取整数部分）；
- TM模式：$M_{TM} = \left[\frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi} \tan^{-1}\left(\frac{n_1^2}{n_3^2} \sqrt{a}\right)\right]_{int}$。
- 截止时$b = 0$，对应的归一化频率称为截止归一化频率$V_m^c$：
- 单模与多模波导
- 单模波导：仅支持基模（$m = 0$），需满足$V_0^c < V < V_1^c$，其中$V_0^c$为基模截止归一化频率（对称波导$V_0^c = 0$）；
- 多模波导：支持多个模式，满足$V > V_1^c$，$V$越大，支持的模式数量越多。
补充知识点：归一化参数是光波导分析的重要工具，通过$b-V$曲线可直观反映不同归一化频率下归一化折射率的变化，进而快速判断波导的模式数量和截止特性，广泛应用于波导设计和优化中。例如，设计单模光纤时，需将归一化频率$V$控制在2.405以下（对应圆波导的基模截止条件）。
3.2 光波导的电磁理论 #
核心概述 #
本节基于麦克斯韦方程组，解析纵向均匀光波导（折射率不随传播方向z变化）的场分布规律，明确波导模式的分类与特征，推导关键的场方程、波动方程及本征方程，同时介绍导模的功率传输与正交性原理，结合平板波导的具体案例帮助理解，为波导特性分析提供核心理论支撑。
3.2.1 波导模式的定义 #
波导模式是指在波导纵向（z方向）传播时，振幅保持恒定的横向场分布，其数学表达式为：
\[ \begin{cases} E_v(r, t) = E_v(x, y) \exp[i(\beta_v z - \omega t)] \\ \mathcal{H}_v(r, t) = \mathcal{H}_v(x, y) \exp[i(\beta_v z - \omega t)] \end{cases} \]- 核心参数：$E_v(x, y)$、$\mathcal{H}_v(x, y)$为横向场分布（含x、y方向的横向分量和z方向的纵向分量），$\beta_v$为传播常数，$v=mn$为模式序号（m、n为横向维度的模式阶数）；
- 物理意义：不同模式对应不同的横向场分布和传播常数，体现波导对光场的约束与筛选特性。
3.2.2 场方程（纵向均匀波导） #
1. 场分量的关联关系 #
通过麦克斯韦方程组推导，横向场分量（$\mathcal{E}_x,\mathcal{E}_y,\mathcal{H}_x,\mathcal{H}_y$）可由纵向场分量（$\mathcal{E}_z,\mathcal{H}_z$）完全确定，核心关系如下（$k^2 = \omega^2 \mu_0 \varepsilon = k_0^2 n^2(x, y)$，$k_0$为自由空间波数）：
\[ \begin{cases} (k^2 - \beta^2)\mathcal{E}_x = i\beta \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial x} + i\omega \mu_0 \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial y} \\ (k^2 - \beta^2)\mathcal{E}_y = i\beta \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial y} - i\omega \mu_0 \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial x} \\ (k^2 - \beta^2)\mathcal{H}_x = i\beta \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial x} - i\omega \varepsilon \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial y} \\ (k^2 - \beta^2)\mathcal{H}_y = i\beta \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial y} + i\omega \varepsilon \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial x} \end{cases} \]这些关系对任何横向几何形状和任何折射率横向分布（n(x,y)与z无关）的纵向均匀波导都是普遍适用的，在波导中，一旦纵向场分量E和H的值已知，那么所有的场分量都可以计算出来。
2. 波导模式的分类 #
根据纵向分量的存在情况，波导模式分为4类，核心特征如下：
| 模式类型 | 纵向分量特征 | 关键说明 |
|---|---|---|
| TEM模（横电磁模） | $\mathcal{E}_z=0$且$\mathcal{H}_z=0$ | 仅含横向分量，但介质波导（如光纤、平板波导）不支持此类模式 |
| TE模（横电波） | $\mathcal{E}_z=0$，$\mathcal{H}_z \neq 0$ | 电场无纵向分量，磁场有纵向分量 |
| TM模（横磁波） | $\mathcal{H}_z=0$，$\mathcal{E}_z \neq 0$ | 磁场无纵向分量，电场有纵向分量 |
| 混合模 | $\mathcal{E}_z \neq 0$且$\mathcal{H}_z \neq 0$ | 仅存在于二维横向约束波导（如圆波导、沟道波导），平板波导中不存在 |
3. 平板波导的场方程简化 #
平板波导的折射率仅随x方向变化（与y无关，$\frac{\partial}{\partial y}=0$），场分量进一步简化，仅存在TE模和TM模：
- TE模：仅含$\mathcal{E}_y$（横向电场）、$\mathcal{H}_x$（横向磁场）、$\mathcal{H}_z$（纵向磁场），满足$\mathcal{H}_z = \frac{1}{i\omega \mu_0} \frac{\partial \mathcal{E}_y}{\partial x}$；
- TM模：仅含$\mathcal{H}_y$（横向磁场）、$\mathcal{E}_x$（横向电场）、$\mathcal{E}_z$（纵向电场），满足$\mathcal{E}_z = -\frac{1}{i\omega \varepsilon} \frac{\partial \mathcal{H}_y}{\partial x}$。
3.2.3 波动方程 #
1. 一般波动方程 #
一般来说，只需要知道$E_z$和$H_z$，其他的数值都可以通过波动方程计算得到，求解$E_z$和$H_z$的通用方法是结合边界条件求解波动方程。 由麦克斯韦方程组进一步推导，场分量满足通用波动方程：
\[ \nabla^2 \mathcal{E} + k^2 \mathcal{E} = -\nabla\left(\frac{\nabla \varepsilon}{\varepsilon} \cdot \mathcal{E}\right) \]- 简化条件：当$\nabla \varepsilon = 0$（均匀介质区域，如阶跃波导的芯层、衬底层），场分量解耦，方程简化为亥姆霍兹方程，求解更便捷；
- 耦合情况：当$\nabla \varepsilon \neq 0$（折射率突变界面），各场分量相互耦合，需结合边界条件（场连续、导数连续）求解。
2. 阶跃折射率波导的波动方程 #
阶跃折射率波导的各区域（芯层、衬底层、覆盖层）折射率恒定，代入波导场表达式（含纵向传播项）后，横向波动方程为：
\[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \mathcal{E}_j(x, y) + (k_i^2 - \beta^2)\mathcal{E}_j(x, y) = 0 \]\[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \mathcal{H}_j(x, y) + (k_i^2 - \beta^2)\mathcal{H}_j(x, y) = 0 \]
- 符号说明：$i$为区域序号（1=芯层、2=衬底层、3=覆盖层），$j$为场分量序号（x、y、z），$k_i = k_0 n_i$（$n_i$为对应区域的折射率）。
3. 平板波导的波动方程（一维简化） #
平板波导与y无关（$\frac{\partial}{\partial y}=0$），波动方程简化为一维形式，核心求解分量如下：
- TE模：以$\mathcal{E}_y$为核心求解分量，方程为$\frac{\partial^2 \mathcal{E}_y}{\partial x^2} + (k_i^2 - \beta^2)\mathcal{E}_y = 0$；
- TM模：以$\mathcal{H}_y$为核心求解分量，方程为$\frac{\partial^2 \mathcal{H}_y}{\partial x^2} + (k_i^2 - \beta^2)\mathcal{H}_y = 0$。
3.2.4 波导模式的求解（阶跃平板波导） #
1. 导模的条件与解的形式 #
导模需满足“芯层振荡、衬底/覆盖层衰减”的约束条件，即$k_1 > \beta > k_2 \geq k_3$（$k_1$为芯层波数，$k_2、k_3$为衬底、覆盖层波数），对应的波动方程解为：
- 芯层（$-d/2 < x < d/2$）：振荡解，$\mathcal{E}_y = C \cos(h_1 x - \psi)$（$h_1 = \sqrt{k_1^2 - \beta^2}$，$\psi$为相位偏移）；
- 衬底层（$x < -d/2$）：指数衰减解，$\mathcal{E}_y = C \exp[-\gamma_2(x + d/2)]$（$\gamma_2 = \sqrt{\beta^2 - k_2^2}$）；
- 覆盖层（$x > d/2$）：指数衰减解，$\mathcal{E}_y = C \exp[-\gamma_3(x - d/2)]$（$\gamma_3 = \sqrt{\beta^2 - k_3^2}$）。
2. 本征方程（特征方程） #
利用界面处场的连续性条件（$\mathcal{E}_y$连续、$\partial \mathcal{E}_y/\partial x$连续），推导得到TE模的本征方程：
\[ h_1 d = m\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma_2}{h_1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma_3}{h_1}\right) \]简化形式：
\[ \tan(h_1 d) = \frac{h_1(\gamma_2 + \gamma_3)}{h_1^2 - \gamma_2 \gamma_3} \]- 模式序号：$m = 0,1,2,…$（$m=0$为基模，$m\geq1$为高阶模），对应芯层内场的振荡次数；
- TM模：本征方程形式类似，仅需引入折射率相关修正项，核心逻辑一致。
3. 模式场分布特征 #
- TE模场分布：$\mathcal{E}_y(x)$在芯层呈余弦振荡，在衬底和覆盖层沿远离芯层的方向指数衰减，无能量辐射（倏逝波特性）；
- 传播常数影响：$\beta$越大，$h_1$越大，芯层内振荡越密集，场约束越强，穿透到衬底/覆盖层的能量越少。
3.2.5 导模的功率与正交性 #
1. 导模的功率传输 #
导模的能量仅沿纵向（z方向）传输，模式功率为横向光强在整个横截面上的积分，核心公式如下：
\[ P_v = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} \text{Re}\left(\mathcal{E}_v \times \mathcal{H}_v^* \cdot \hat{z}\right) dxdy \]简化表达式（更易计算）：
- TE模：$P_{TE} = \frac{2\beta_v}{\omega \mu_0} \int_{-\infty}^{\infty} |\mathcal{E}_y|^2 dx$；
- TM模：$P_{TM} = \frac{2\beta_v}{\omega} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\varepsilon(x)} |\mathcal{H}_y|^2 dx$；
- 关键结论：纵向分量$\mathcal{E}_z、\mathcal{H}_z$不参与功率传输，仅横向分量贡献能量。
2. 模式的正交性与归一性 #
（1）正交性 #
无耗、各向同性波导中，不同模式间无功率耦合，满足正交性关系：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \text{Re}\left(\mathcal{E}_v \times \mathcal{H}_\mu^* + \mathcal{E}_\mu^* \times \mathcal{H}_v\right) \cdot \hat{z} dxdy = \pm P_v \delta_{v\mu} \]- $\delta_{v\mu}$为克罗内克函数：$v=\mu$时为1（同模式），$v\neq\mu$时为0（不同模式）；
- 符号意义：“+”对应前向传播模，“-”对应后向传播模。
（2）归一性 #
将模式场归一化后（功率归一为1），正交性关系简化为：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \text{Re}\left(\hat{\mathcal{E}}_v \times \hat{\mathcal{H}}_\mu^* + \hat{\mathcal{E}}_\mu^* \times \hat{\mathcal{H}}_v\right) \cdot \hat{z} dxdy = \pm \delta_{v\mu} \]- 物理意义：波导内任意光场可分解为各导模的线性叠加，模式构成一组正交基，为光场调控提供理论基础。
3.2.6 典型示例（光学知识应用） #
示例1：平板波导无混合模的证明 #
平板波导中$\frac{\partial}{\partial y}=0$，场方程可分解为两组独立方程：
- 一组关联$\mathcal{H}_z、\mathcal{H}_x$与$\mathcal{E}_y$，定义TE模；
- 另一组关联$\mathcal{E}_z、\mathcal{E}_x$与$\mathcal{H}_y$，定义TM模；
- 结论：$\mathcal{E}_z$与$\mathcal{H}_z$完全解耦，无同时非零的情况，因此平板波导仅存在TE模和TM模，无混合模。
示例2：入射偏振与波导模式的耦合 #
不同偏振的入射光耦合到半导体平板波导时，模式激发规律如下：
- （a）线偏振平行于芯层边界：单模波导中仅激发TE模，多模波导中可激发单个或多个TE模；
- （b）线偏振垂直于芯层边界：单模波导中仅激发TM模，多模波导中可激发单个或多个TM模；
- （c）斜向线偏振：若波导同时支持TE和TM模，则两种模式均被激发；若单模非对称波导仅支持基模TE模，则仅激发TE基模；
- （d）圆偏振：本质是两个正交线偏振的叠加，激发规律与斜向线偏振一致，支持两种模式则均激发，仅支持TE基模则仅激发TE基模。
3.3 阶跃折射率平面波导 #
3.3.1 非对称阶跃折射率平面波导 #
对于平面波导的模式，要么是TE模，要么是TM模。
- 场分量关系：电场纵向分量\(E_z\)、磁场纵向分量\(H_z\)仅与x、y相关，横向分量（\(E_x,E_y,H_x,H_y\)）可由\(E_z、H_z\)推导得出
- 导模表达式：通过边界条件和本征值方程求解传播常数\(\beta_v\)，导模的时空分布为： $$\begin{cases}E_v(r,t)=\mathcal{E}_v(x,y)\exp i(\beta_v z-\omega t)\\H_v(r,t)=\mathcal{H}_v(x,y)\exp i(\beta_v z-\omega t)\end{cases}$$
- 平面波导特性：折射率\(n=n(x)\)与y无关，所有场分量对y的偏导数为0（\(\partial/\partial y=0\)），导模仅分为TE模式和TM模式
3.3.1 不对称阶跃折射率平面波导（Asymmetric Step-index Planar Waveguide） #
1. 模式分类与核心场分量 #
| 模式类型 | 核心特征 | 关键场分量关系 |
|---|---|---|
| TE模式（横电波） | \(E_z=0\)，进而\(E_x=0、H_y=0\)，核心分量为\(E_y\) | $$H_x=-\frac{\beta}{\omega \mu_0} \mathcal{E}_y$$ $$H_z=\frac{1}{i \omega \mu_0} \frac{\partial \mathcal{E}_y}{\partial x}$$ |
| TM模式（横磁波） | \(H_z=0\)，进而\(H_x=0、E_y=0\)，核心分量为\(H_y\) | $$E_x=\frac{\beta}{\omega \varepsilon} \mathcal{H}_y$$ $$E_z=-\frac{1}{i \omega \varepsilon} \frac{\partial \mathcal{H}_y}{\partial x}$$ |
2. 结构参数与场分布方程 #
- 结构定义：核心区（\(-d/2
- 关键参数： $$k_1=\omega n_1/c、k_2=\omega n_2/c、k_3=\omega n_3/c$$ $$h_1=\sqrt{k_1^2-\beta^2}（核心区横向传播常数，实数）$$ $$\gamma_2=\sqrt{\beta^2-k_2^2}、\gamma_3=\sqrt{\beta^2-k_3^2}（衬底/覆盖区衰减系数，实数）$$ 传播常数范围：\(k_1>\beta>k_2>k_3\)
3. 模式场分布（Mode Field Distribution） #
（1）TE模式（核心分量\(\mathcal{E}_y\)） #
$$\mathcal{E}_y=C_{TE} \begin{cases} \cos\left(h_1 \cdot \frac{d}{2} - \psi\right) \exp\left[\gamma_3\left(\frac{d}{2}-x\right)\right], & x>\frac{d}{2} \\ \cos\left(h_1 x - \psi\right), & -\frac{d}{2}（2）TM模式（核心分量\(\mathcal{H}_y\)） #
$$\mathcal{H}_y=C_{TM} \begin{cases} \cos\left(h_1 \cdot \frac{d}{2} - \psi\right) \exp\left[\gamma_3\left(\frac{d}{2}-x\right)\right], & x>\frac{d}{2} \\ \cos\left(h_1 x - \psi\right), & -\frac{d}{2}4. 本征值方程（Eigenvalue Equations） #
（1）TE模式 #
$$\tan(h_1 d)=\frac{\gamma_2 + \gamma_3}{h_1 - \frac{\gamma_2 \gamma_3}{h_1}}=\frac{h_1(\gamma_2 + \gamma_3)}{h_1^2 - \gamma_2 \gamma_3}$$$$\tan(2\psi)=\frac{\gamma_2 - \gamma_3}{h_1 + \frac{\gamma_2 \gamma_3}{h_1}}=\frac{h_1(\gamma_2 - \gamma_3)}{h_1^2 + \gamma_2 \gamma_3}$$
（2）TM模式 #
$$\tan(h_1 d)=\frac{\frac{h_1}{n_1^2}\left(\frac{\gamma_2}{n_2^2} + \frac{\gamma_3}{n_3^2}\right)}{\left(\frac{h_1}{n_1^2}\right)^2 - \frac{\gamma_2 \gamma_3}{n_2^2 n_3^2}}$$$$\tan(2\psi)=\frac{\frac{h_1}{n_1^2}\left(\frac{\gamma_2}{n_2^2} - \frac{\gamma_3}{n_3^2}\right)}{\left(\frac{h_1}{n_1^2}\right)^2 + \frac{\gamma_2 \gamma_3}{n_2^2 n_3^2}}$$
- 本征值方程为超越方程，需通过图形法或数值法求解，得到离散的传播常数\(\beta\)
5. 物理意义（Physical Meaning） #
- 有效波导厚度：
- TE模式：\(d_E = d + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}\)
- TM模式：\(d_M = d + \frac{1}{\gamma_2 q_2} + \frac{1}{\gamma_3 q_3}\)（\(q_2=\frac{\beta^2}{n_1^2}+\frac{\beta^2}{n_2^2}-1\)，\(q_3=\frac{\beta^2}{n_1^2}+\frac{\beta^2}{n_3^2}-1\)）
- 规律：\(\gamma_2、\gamma_3\)越大→场衰减越快→\(d_E/d_M\)越小→场越集中在核心区；反之则约束能力越弱
- 参数含义：
- \(h_1\)：核心区导模横向传播常数
- \(\gamma_2、\gamma_3\)：衬底/覆盖区导模衰减系数
- 模式阶数影响：\(m↑→\beta↓→\gamma_2、\gamma_3↓→d_E↑→\)高阶模场衰减更慢，约束性更差
- 折射率影响：因\(n_2>n_3\)，故\(\gamma_2<\gamma_3\)，衬底区场衰减比覆盖区慢
6. 传播常数（Propagation Constant） #
- 归一化参数定义：
- 归一化频率：\(V = k_0 d\sqrt{n_1^2 - n_2^2} = d\sqrt{k_1^2 - k_2^2}\)（\(k_0=\omega/c\)）
- 归一化折射率：\(b = \frac{n_\beta^2 - n_2^2}{n_1^2 - n_2^2}\)（\(n_\beta=\beta/k_0\)）
- 不对称因子：\(a = \frac{n_2^2 - n_3^2}{n_1^2 - n_2^2}\)
- 归一化本征值方程： $$V\sqrt{1-b}=m\pi + \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{b}{1-b}}\right) + \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{b+a}{1-b}}\right)$$
- 特性：传播常数\(\beta\)为离散值，由本征值方程决定，依赖于\(V、a、m\)
7. 色散（Dispersion） #
- 定义：不同模式/频率的导模传播速度不同，导致信号畸变
- 色散类型及成因：
- 材料色散：折射率\(n\)随频率\(\omega\)变化（\(n\sim\omega\)），导致\(k\sim\omega\)
- 模式色散：不同阶模的传播常数不同（\(\beta_v≠\beta_\mu\)）
- 偏振色散：TE与TM模式的传播常数不同（\(\beta_{TE}≠\beta_{TM}\)）
- 波导色散：传播常数的频率依赖性由波导结构导致（\(\beta_v\sim\omega\)）
- 总色散公式： $$\frac{d}{d\omega}n_\beta=\left(\frac{\partial n_\beta}{\partial \omega}\right)_{material} + \left(\frac{\partial n_\beta}{\partial \omega}\right)_{waveguide}$$ 其中： $$\left(\frac{\partial n_\beta}{\partial \omega}\right)_{material}=\Gamma_1 \frac{n_1}{n_\beta} \frac{\partial n_1}{\partial \omega} + \Gamma_2 \frac{n_2}{n_\beta} \frac{\partial n_2}{\partial \omega}$$ $$\left(\frac{\partial n_\beta}{\partial \omega}\right)_{waveguide}=\frac{1}{\omega n_\beta}\left(\Gamma_1 n_1^2 + \Gamma_2 n_2^2 - n_\beta^2\right)$$
8. 截止条件（Cutoff Conditions） #
- 截止定义：导模转变为辐射模的临界状态，此时\(\theta=\theta_{2c}\)、\(n_\beta=n_2\)、\(\beta=k_2\)、\(\gamma_2=0\)、\(b=0\)
- 截止归一化频率：\(V_c = \tan^{-1}\sqrt{a_M}\)（\(a_M=\frac{n_1^4}{n_3^4}·\frac{n_2^2 - n_3^2}{n_1^2 - n_2^2}\)）
- 截止判据：
- \(V>V_m^c→b>0→\beta>k_2→n_\beta>n_2→\)导模
- \(V
- 关键截止参数：
- 截止波长：\(V_m^c = \frac{2\pi}{\lambda_m^c}d\sqrt{n_1^2 - n_2^2}→\lambda_m^c=\frac{2\pi d\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{V_m^c}\)，\(\lambda<\lambda_m^c→\)导模
- 截止频率：\(\omega_m^c = \frac{c V_m^c}{d\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\)，\(\omega>\omega_m^c→\)导模
- 截止厚度：\(d_m^c = \frac{\lambda V_m^c}{2\pi\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\)，\(d>d_m^c→\)导模
- 模式数量计算：
- TE模式数：\(M_{TE}=\left[\frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi}\tan^{-1}\sqrt{a_E}\right]_{int}\)（\(a_E=\frac{n_2^2 - n_3^2}{n_1^2 - n_2^2}\)，\([·]_{int}\)表示取整）
- TM模式数：\(M_{TM}=\left[\frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi}\tan^{-1}\sqrt{a_M}\right]_{int}\)
- 总导模数 = \(M_{TE} + M_{TM}\)
9. 模式限制因子（Mode Confinement Factor） #
- 定义：导模功率在核心区的占比（\(\Gamma_v\)），反映场的约束能力
- 计算公式：
（1）TE模式 #
（2）TM模式 #
$$\Gamma_{TM}=\frac{\int_{-d/2}^{d/2}n_1^{-2}|\mathcal{H}_y(x)|^2 dx}{\int_{-\infty}^{\infty}n^{-2}(x)|\mathcal{H}_y(x)|^2 dx}=\frac{1}{d_M}\left(d + \frac{1}{\gamma_2 q_2·\frac{1}{1+h_1^2/\gamma_2^2}} + \frac{1}{\gamma_3 q_3·\frac{1}{1+h_1^2/\gamma_3^2}}\right)$$- 关键规律：
- 同偏振：低阶模限制因子>高阶模（\(\Gamma_m>\Gamma_{m+1}\)）
- 同阶模式：\(\Gamma_{TE}≈\Gamma_{TM}\)，差异较小
- 波长影响：同一模式的\(\Gamma\)随波长增大而减小
- 基模（\(TE_0/TM_0\)）的\(\Gamma\)最大，约束能力最强
3.3.2 对称阶跃折射率平面波导（Symmetric Step-index Planar Waveguide） #
1. 结构特性 #
- 核心特征：衬底区与覆盖区折射率相等（\(n_2=n_3\)），故\(\gamma_2=\gamma_3\)、\(a_E=a_M=0\)
- 模式对称性：\(\tan(2\psi)=0→\psi=m\pi/2\)（m=0,1,2,…），m为偶数时场呈x的偶函数（\(\cos(h_1x)\)），m为奇数时呈奇函数（\(\sin(h_1x)\)）
2. 模式场分布（Mode Field Distribution） #
TE模式核心分量\(\mathcal{E}_y\)：
$$\mathcal{E}_y=C_{TE} \begin{cases} \cos\left(h_1 \cdot \frac{d}{2} - \psi\right) \exp\left[\gamma_3\left(\frac{d}{2}-x\right)\right], & x>\frac{d}{2} \\ \cos\left(h_1 x - \psi\right), & -\frac{d}{2}3. 本征值方程（Eigenvalue Equations） #
$$\tan\left(\frac{h_1 d}{2} - \frac{m\pi}{2}\right) = \frac{\gamma_2}{h_1} = \frac{\sqrt{V^2 - h_1^2 d^2}}{h_1 d}$$（推导自不对称波导方程，因\(\gamma_2=\gamma_3\)简化得出）
4. 截止条件（Cutoff Conditions） #
- 核心公式：截止归一化频率\(V_m^c = m\pi\)（m=0,1,2,…）
- 关键特性：
- 基模（m=0）：\(V_0^c=0→d_0^c→0\)、\(\lambda_0^c→\infty\)，基模永不截止
- 高阶模：\(m↑→V_m^c↑→\lambda_m^c↓→d_m^c↑\)
- 截止判据与不对称波导一致：\(V>V_m^c→\)导模，\(V
5. 模式限制因子（Confinement Factor） #
- 简化公式：
（1）TE模式 #
（2）TM模式 #
$$\Gamma_{TM}=\frac{\gamma_2 d(q V^2 + 2\gamma_2 d)}{V^2(2 + q \gamma_2 d)}$$- 基模TE₀简化公式（误差<1.5%）： $$\Gamma_{TE}=\frac{V^2}{2 + V^2}$$
3.4 阶跃折射率圆形波导（Step-index circular waveguides） #
3.4.1 阶跃折射率光纤（Step-index fibers） #
1. 基本定义与核心参数 #
- 结构本质：横截面为圆形的圆柱形介质波导，由高折射率核心（n₁）和低折射率包层（n₂）组成（n₁>n₂）
- 典型应用：光纤通信、光纤传感、光纤激光器等
- 关键参数：
（1）归一化频率（V数） #
（a为核心半径，λ为光波长，k₀=ω/c）
（2）数值孔径（NA） #
$$NA=\sqrt{n_1^2 - n_2^2}=\sin\theta_m$$（θₘ为接收角，即能耦合进入光纤的最大入射角度）
- 模式场描述：圆柱坐标系下，模式场随径向（r）、角向（φ）变化，纵向传播形式为： $$E_{mn}(r,t)=E_{mn}(\phi,r)\exp i(\beta_{mn} z - \omega t)$$ （m为角向模式数，n为径向模式数，βₘₙ为传播常数）
2. 场方程（Field Equations） #
基于麦克斯韦方程组，结合圆柱坐标系旋度公式，推导得到横向场分量与纵向场分量（E_z、H_z）的关系：
$$\begin{cases}(k^2 - \beta^2)\mathcal{E}_r = i\beta \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial r} + i\omega\mu_0 \frac{1}{r}\frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial \phi}\\ (k^2 - \beta^2)\mathcal{E}_\phi = i\beta \frac{1}{r}\frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial \phi} - i\omega\mu_0 \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial r}\\ (k^2 - \beta^2)\mathcal{H}_r = i\beta \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial r} - i\omega\varepsilon \frac{1}{r}\frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial \phi}\\ (k^2 - \beta^2)\mathcal{H}_\phi = i\beta \frac{1}{r}\frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial \phi} + i\omega\varepsilon \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial r}\end{cases}$$- 其中：$k²=ω²μ₀ε=k₀²n²，β=k₀n₁sinθ$（$θ$为光线与纵向夹角）
3. 波动方程（Wave Equations） #
核心区（r<a）和包层区（r>a）的介电常数为常数，结合模式场纵向传播形式，得到纵向场分量的亥姆霍兹方程：
$$\frac{\partial^2 \mathcal{E}_z}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \mathcal{E}_z}{\partial \phi^2} + (k_i^2 - \beta^2)\mathcal{E}_z=0$$$$\frac{\partial^2 \mathcal{H}_z}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \mathcal{H}_z}{\partial \phi^2} + (k_i^2 - \beta^2)\mathcal{H}_z=0$$
- 关键参数定义：
- 核心区（r<a）：k₁=k₀n₁，h²=k₁² - β²（横向传播常数，实数，因k₁>β）
- 包层区（r>a）：k₂=k₀n₂，γ²=β² - k₂²（衰减系数，实数，因β>k₂）
- 传播常数范围：k₁>β>k₂
4. 方程解与场分布 #
采用分离变量法求解波动方程，设解的形式为$\mathcal{E}_z(\phi,r)=R(r)e^{\pm im\phi}$（m=0,1,2,…），得到：
（1）核心区（r<a） #
波动方程简化为贝塞尔方程，解为第一类贝塞尔函数：
$$\frac{\partial^2 R}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial R}{\partial r} + \left(h^2 - \frac{m^2}{r^2}\right)R=0 \implies R(r)=J_m(hr)$$（2）包层区（r>a） #
波动方程简化为虚宗量贝塞尔方程，解为第二类开尔文函数（衰减解）：
$$\frac{\partial^2 R}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial R}{\partial r} - \left(\gamma^2 + \frac{m^2}{r^2}\right)R=0 \implies R(r)=K_m(\gamma r)$$（3）完整纵向场分布 #
$$\mathcal{E}_z(\phi,r)= \begin{cases} A_m J_m(hr)\cos m\phi \text{ 或 } A_m' J_m(hr)\sin m\phi, & ra \end{cases}$$$$\mathcal{H}_z(\phi,r)= \begin{cases} C_m J_m(hr)\sin m\phi \text{ 或 } C_m' J_m(hr)\cos m\phi, & ra \end{cases}$$
5. 本征值方程（Eigenvalue Equations） #
结合r=a处的边界条件（E_z、H_z、E_φ、H_φ连续）和非零解要求，推导得到导模的本征值方程：
$$\left[\frac{J_m'(ha)}{ha J_m(ha)} + \frac{K_m'(\gamma a)}{\gamma a K_m(\gamma a)}\right]\left[\frac{n_1^2 J_m'(ha)}{ha J_m(ha)} + \frac{n_2^2 K_m'(\gamma a)}{\gamma a K_m(\gamma a)}\right]=m^2\left(\frac{\beta}{k_0}\right)^2\left(\frac{1}{h^2a^2} + \frac{1}{\gamma^2a^2}\right)^2$$- 贝塞尔函数与开尔文函数关键性质：
- $J_{-m}=(-1)^m J_m$，$J_0(0)=1$，$J_{m≠0}(0)=0$
- $K_{-m}=K_m$，$K_m(\infty)=0$（包层区场衰减至零）
6. 光纤模式分类（Fiber Modes） #
（1）m=0时：TE模式与TM模式 #
- TE模式：$E_z=0，E_r=H_φ=0$，本征值方程： $$\frac{J_1(ha)}{ha J_0(ha)} + \frac{K_1(\gamma a)}{\gamma a K_0(\gamma a)}=0$$
- TM模式：$H_z=0，H_r=E_φ=0$，本征值方程： $$\frac{n_1^2 J_1(ha)}{ha J_0(ha)} + \frac{n_2^2 K_1(\gamma a)}{\gamma a K_0(\gamma a)}=0$$
（2）m≠0时：混合模（HEₘₙ、EHₘₙ） #
- 特点：$E_z≠0$且$H_z≠0$，为简并模式（两组模式可通过旋转角向参考系相互转换）
- HEₘₙ模式：磁场纵向分量占优
- EHₘₙ模式：电场纵向分量占优
7. 截止条件（Cutoff Conditions） #
- 截止定义：导模转变为辐射模的临界状态，此时$γ=0、β=k₂、h=k₀√(n₁²-n₂²)$，截止归一化频率$V_c=ha$
- 不同模式的截止条件：
（1）TE₀ₙ、TM₀ₙ模式 #
截止$V_c$为$J₀(x)=0$的第n个根，即$J₀(V_c)=0$（2）HE₁ₙ模式 #
截止$V_c$为$J₁(x)=0$的第n个根，即$J₁(V_c)=0$（基模HE₁₁的J₁(0)=0，故V_c=0，永不截止）（3）HEₘₙ模式（m≥2） #
截止$V_c$为$Jₘ₋₂(x) + [(n₁²-n₂²)/(n₁²+n₂²)]Jₘ(x)=0$的第n个非零根（4）EHₘₙ模式（m≥1） #
截止$V_c$为$Jₘ(x)=0$的第n个非零根 - 关键截止值：
- 基模HE₁₁：$V_c=0$（永不截止）
- 一阶高阶模（TE₀₁、TM₀₁）：$V_c=2.405$
- 单模/多模判据：
- 单模光纤：V<2.405（仅支持HE₁₁基模）
- 多模光纤：V>2.405（支持多个导模）
3.4.2 弱导光纤（Weakly guiding fibers） #
1. 弱导近似条件 #
- 核心特征：核心与包层折射率差极小，相对折射率差Δ«1 $$\Delta=\frac{n_1 - n_2}{n_1}<<1（通常Δ≈10^{-3}）$$
- 近似意义：简化数学推导，又称标量近似（Scalar approximation），此时$β≈k₁≈k₂，HEₘₙ$与$EHₘₙ模$式近简并
2. 线性偏振模（LP模式） #
- 定义：弱导近似下，导模可表示为线性偏振模（Linearly Polarized Modes, LPₘₙ），场主要沿横向线性偏振
- 模式退化（Degeneracy）：
（1）LP₀ₙ模式：对应HE₁ₙ模式，二重简并 #
（2）LP₁ₙ模式：由TE₀ₙ、TM₀ₙ、HE₂ₙ模式组成，四重简并 #
（3）LPₘₙ模式（m≥2）：由HEₘ₊₁ₙ、EHₘ₋₁ₙ模式组成，四重简并 #
3. LP模式的核心方程 #
（1）本征值方程 #
$$\frac{ha J_{m-1}(ha)}{J_m(ha)}=-\frac{\gamma a K_{m-1}(\gamma a)}{K_m(\gamma a)}$$- 特殊情况：
- m=0时：$J_{-1}(x)=-J_1(x)$，方程简化为$\frac{ha J_1(ha)}{J_0(ha)}=\frac{\gamma a K_1(\gamma a)}{K_0(\gamma a)}$（与TE₀ₙ模式本征值方程一致）
- m=1时：方程简化为$\frac{J_1(ha)}{ha J_0(ha)}=-\frac{K_1(\gamma a)}{\gamma a K_0(\gamma a)}$
- 归一化频率关系：$V=\sqrt{(ha)^2 + (\gamma a)^2}$
（2）截止条件 #
截止时γ=0，本征值方程退化为Jₘ₋₁(V_c)=0：
- m=0：LP₀ₙ模式截止V_c为J₁(x)=0的第n个根
- m≠0：LPₘₙ模式截止V_c为Jₘ₋₁(x)=0的第n个非零根
- 近似公式：$V_{mn}^c\approx(2n + m - \frac{3}{2})\frac{\pi}{2}$
4. LP模式的场与强度分布 #
（1）场分布（横向电场分量） #
$$\mathcal{E}_y= \begin{cases} \frac{1}{J_m(ha)}J_m(hr)\cos m\phi, & ra \end{cases}$$$$\mathcal{E}_x=0（可通过旋转得到x方向偏振场）$$
- 不同模式场分量特点：
- TE₀ₙ：$\mathcal{E}r=0$，$\mathcal{E}\phi\sim J_1(hr)$
- TM₀ₙ：$\mathcal{E}r\sim J_1(hr)$，$\mathcal{E}\phi=0$
- HEₘₙ：$\mathcal{E}r\sim J{m-1}(hr)\cos m\phi$，$\mathcal{E}\phi\sim-J{m-1}(hr)\sin m\phi$
- EHₘₙ：$\mathcal{E}r\sim-J{m+1}(hr)\cos m\phi$，$\mathcal{E}\phi\sim-J{m+1}(hr)\sin m\phi$
（2）强度分布 #
$$I(\phi,r)\sim|\mathcal{E}|^2= \begin{cases} \frac{1}{J_m^2(ha)}J_m^2(hr)\cos^2 m\phi, & ra \end{cases}$$- 模式指数意义：
- m（角向模式数）：角向强度最大值的半数
- n（径向模式数）：径向强度最大值的个数
5. 模式限制因子（Mode Confinement Factor） #
- 定义：导模功率在核心区的占比，反映场的约束能力 $$\Gamma_{mn}=\frac{P_{core}}{P_{mode}}=\frac{\int_0^a\int_0^{2\pi}I(\phi,r)r dr d\phi}{\int_0^\infty\int_0^{2\pi}I(\phi,r)r dr d\phi}$$
- 近似计算公式： $$\Gamma_{mn}\approx1 - \frac{h^2a^2}{V^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\gamma^2a^2 + m^2 + 1}}$$
- 关键规律：
- LP₀₁（HE₁₁）模式：V=2.405时，Γ≈0.84
- 近截止时（V→V_c）：LP₀ₙ、LP₁ₙ模式的Γ→0，m≥2的LPₘₙ模式仍有部分功率约束在核心区
6. 光纤中的色散（Dispersion in Fibers） #
- 定义：不同频率/模式的导模传播速度不同，导致信号畸变，是限制光纤传输带宽的主要因素
- 色散分类：
（1）色度色散（Chromatic Dispersion） #
包括材料色散（n随ω变化）和波导色散（β的频率依赖性由波导结构导致），总色散用群速度色散（GVD）系数D描述： $$D=\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\tau}{L}\right)（单位：ps/nm·km）$$ 其中群延迟τ为： $$\tau=L\left(\frac{n_{eff}}{c} - \frac{\lambda}{c}\frac{dn_{eff}}{d\lambda}\right)$$ （n_eff=β/k₀为有效折射率）（2）模式色散（Intermode Dispersion） #
多模光纤中不同模式的传播常数不同导致的色散，单模光纤无此色散 - 零色散波长：通过平衡材料色散（正）和波导色散（负），使总色散D=0的波长（标准单模光纤G.652的零色散波长约1310nm）
期末复习题（简答+计算） #
一、简答题 #
1. 简述平面波导的导模条件及物理本质。
答案：
- 导模条件：传播常数满足$k_0 n_1 > \beta > k_0 n_2 \geq k_0 n_3$，对应入射角$\theta_i > \theta_{2c} \geq \theta_{3c}$（$\theta_{2c}$为芯层-衬底临界角）。
- 物理本质：光在芯层与衬底、芯层与覆盖层界面发生全反射，横向形成驻波（相长干涉），纵向沿波导传播，能量被束缚在芯层及附近区域（倏逝波），不向光疏介质辐射。
2. 什么是光纤的数值孔径（NA）？其物理意义及影响因素是什么？
答案：
- 定义：$NA = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = sin\theta_m$，$\theta_m$为光纤的最大接收角。
- 物理意义：描述光纤的集光能力，$NA$越大，光纤能接收的入射光角度范围越广，越容易与光源耦合。
- 影响因素：仅与纤芯和包层的折射率差相关（$n_1 - n_2$），与光纤的几何尺寸（$a$）无关。
3. 简述单模光纤与多模光纤的区别（结构、模式、色散、应用）。
答案：
| 特性 | 单模光纤（SMF） | 多模光纤（MMF） |
|---|---|---|
| 结构 | 纤芯半径小（$a≈4\sim6\mu m$），$\Delta≈0.001\sim0.005$ | 纤芯半径大（$a≈25\mu m$），$\Delta≈0.01\sim0.02$ |
| 模式 | $V < 2.405$，仅支持LP01基模 | $V > 2.405$，支持多个LP模 |
| 色散 | 无模间色散，主要为色度色散 | 主要为模间色散，色度色散次要 |
| 应用 | 长距离（>1km）高速通信（>10Gbps） | 短距离（<500m）低速/中速通信（<10Gbps） |
4. 什么是波导的截止条件？以非对称平面波导TE模为例，说明截止时的物理状态。 答案：
- 截止条件：导模转为辐射模的临界状态，此时$n_\beta = n_2$，$\gamma_2=0$，$b=0$，归一化频率为截止归一化频率$V_c$。
- 非对称平面波导TE模截止时：$\beta = k_0 n_2$，芯层横向传播常数$h_1 = k_0\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$，衬底衰减系数$\gamma_2=0$，倏逝波变为行波，光能量向衬底辐射，导模消失。
5. 简述光纤色散的类型及对通信的影响，如何补偿单模光纤的色度色散？ 答案：
- 色散类型：
- 模间色散：多模光纤中不同模式的传播速度不同，导致脉冲展宽。
- 色度色散：单模光纤中，材料色散（$n$随$\lambda$变化）和波导色散（$\beta$随$\lambda$的波导结构依赖）的总和。
- 影响：脉冲展宽导致码间串扰，限制通信速率和传输距离。
- 补偿方法：在光纤链路中插入色散补偿光纤（DCF，具有负色度色散），抵消标准单模光纤的正色散；或使用色散移位光纤（DSF，将零色散波长移至1550nm低损耗窗口）。
6. 什么是弱导近似？其适用条件及意义是什么？ 答案：
- 定义：当光纤的相对折射率差$\Delta = \frac{n_1 - n_2}{n_1} \ll 1$（$\Delta \sim 10^{-3}$）时，混合模退化为线性偏振模（LP模），简化模式分析。
- 适用条件：$\Delta \ll 1$（如标准单模光纤）。
- 意义：将复杂的混合模分析简化为LP模分析，LP模的场分布近似为横向线偏振，便于计算模式数量、截止条件和场分布。
7. 平面波导的TE模式和TM模式核心区别是什么？ 答：TE模式的纵向电场分量\(E_z=0\)，核心场分量为横向分量\(E_y\)；TM模式的纵向磁场分量\(H_z=0\)，核心场分量为横向分量\(H_y\)；两者的本征值方程、场衰减特性及限制因子计算公式均不同。
8. 导模传播常数\(\beta\)的取值范围是什么？其物理意义是什么？ 答：取值范围为\(k_1>\beta>k_2>k_3\)（\(k=\omega n/c\)）；物理意义是导模沿波导纵向（z方向）的相位传播常数，决定导模的相速度\(v_p=\omega/\beta\)。
9. 什么是波导的截止条件？截止时导模发生什么变化？ 答：截止是导模转变为辐射模的临界状态，条件为\(\beta=k_2\)（即\(n_\beta=n_2\)）、\(\gamma_2=0\)、\(b=0\)；截止时导模不再被约束在核心区，能量向衬底和覆盖区辐射，失去导波特性。
10. 平面波导的色散分为哪几类？各自的成因是什么？ 答：分为4类：①材料色散：折射率随频率变化（\(n\sim\omega\)）；②模式色散：不同阶模的传播常数不同（\(\beta_v≠\beta_\mu\)）；③偏振色散：TE与TM模式的传播常数不同（\(\beta_{TE}≠\beta_{TM}\)）；④波导色散：传播常数的频率依赖性由波导结构导致。
11. 对称平面波导的基模与不对称波导的基模有何本质区别？
答：对称波导的基模（TE₀/TM₀）截止归一化频率\(V_0^c=0\)，无截止波长和截止厚度，永不截止；不对称波导的基模\(V_0^c>0\)，存在截止条件，当\(V 12. 模式限制因子\(\Gamma\)的物理意义是什么？影响\(\Gamma\)的关键因素有哪些？
答：物理意义是导模功率在核心区的占比，反映波导对场的约束能力；影响因素包括：①模式阶数（低阶模\(\Gamma\)更大）；②波长（波长增大，\(\Gamma\)减小）；③衰减系数\(\gamma_2、\gamma_3\)（\(\gamma\)越大，\(\Gamma\)越大）；④波导核心厚度d（d越大，\(\Gamma\)越大）。 1. 一非对称平面波导，芯层$n_1=1.77$，衬底$n_2=1.45$，覆盖层$n_3=1$，芯层厚度$d=2\mu m$，入射光波长$\lambda=1\mu m$，求：
（1）归一化频率$V$；
（2）TE模的数量；
（3）基模（$m=0$）的截止归一化频率$V_{0c}$。 答案： 2. 一标准单模光纤，纤芯半径$a=4.7\mu m$，数值孔径$NA=0.13$，工作波长$\lambda=1550nm$，判断该光纤是否支持单模传输；若工作波长$\lambda=850nm$，是否支持单模传输？（单模条件$V < 2.405$） 答案： 3. 一长距离单模光纤通信系统，传输距离$L=100km$，工作波长$\lambda=1550nm$，色度色散$D=17ps/(nm·km)$，信号的光谱带宽$\Delta\lambda=0.1nm$，求脉冲展宽$\Delta\tau$；若要使脉冲展宽$\Delta\tau \leq 100ps$，最大传输距离$L_{max}$是多少？ 答案： 4. 一对称平面波导，芯层$n_1=1.50$，衬底/覆盖层$n_2=1.46$，芯层厚度$d=2\mu m$，求$\lambda=1.5\mu m$时的归一化频率$V$，并判断支持的TE模数量。 答案： 5. 已知不对称平面波导：d=1μm，λ=1.55μm，n₁=1.55，n₂=1.50，n₃=1.0。计算：（1）归一化频率V；（2）TE模式数和TM模式数；（3）基模TE₀的截止波长\(\lambda_0^c\)。
解：
（1）归一化频率：
（2）不对称因子：
模式数：
结论：该波导在λ=1.55μm时无导模。
（3）TE₀的截止频率\(V_0^c=\tan^{-1}\sqrt{a_E}=\tan^{-1}\sqrt{8.20}≈1.21\)
结论：TE₀的截止波长为0.79μm，仅当λ<0.79μm时存在TE₀导模。 6. 对称平面波导：d=3μm，n₁=1.48，n₂=1.46，λ=1.5μm。计算：（1）归一化频率V；（2）TE₀模的限制因子\(\Gamma_{TE}\)。
解：
（1）归一化频率：
（2）TE₀限制因子（用基模简化公式）：
结论：归一化频率V≈3.05，TE₀模的限制因子约为82.3%。 耦合波理论用于描述不同频率光波的耦合，仅当介质光学属性满足以下条件之一时成立： 补充光学例子： 耦合模理论用于描述同一频率下不同空间模式的耦合，介质光学属性具有空间依赖性（如波导结构扰动、多波导耦合）。 单波导模式耦合（同一波导内不同模式耦合）：
耦合系数$\kappa_{v\mu} = \omega\iint_{-\infty}^\infty \hat{\mathcal{E}}v^*·\Delta\varepsilon·\hat{\mathcal{E}}\mu dxdy$，描述模式$v$与$\mu$的耦合强度；“+”对应前向模式（$\beta_v>0$），“-”对应后向模式（$\beta_v<0$）。 多波导模式耦合（多个独立波导间模式耦合）：
方程形式与单波导一致，但耦合系数需考虑不同波导模式的场重叠，引入重叠系数$c_{v\mu}=\iint_{-\infty}^\infty (\hat{\mathcal{E}}v^*×\hat{\mathcal{H}}\mu + \hat{\mathcal{E}}\mu×\hat{\mathcal{H}}v^*)·\hat{z}dxdy$，修正后耦合系数$\kappa{v\mu}=c{vv}[c^{-1}·\tilde{\kappa}]{v\mu}$（$\tilde{\kappa}{v\mu}=\omega\iint_{-\infty}^\infty \hat{\mathcal{E}}v^*·\Delta\varepsilon\mu·\hat{\mathcal{E}}_\mu dxdy$）。 补充光学例子： 实际应用中多关注两模式耦合（如基模与一阶模、两波导基模），忽略其他模式，方程简化为：
其中： 补充光学例子： 补充光学例子： 1. 简述耦合波理论与耦合模理论的核心区别与适用场景。
答案： 2. 什么是慢变振幅近似（SVA）？其物理意义是什么？
答案： 3. 相位匹配的定义及物理意义是什么？如何实现相位匹配？
答案： 4. 简述同向耦合与反向耦合的区别（传播方向、求解类型、能量转移特性）。
答案： 5. 什么是定向耦合器的超模？对称定向耦合器的偶模和奇模有何特点？
答案： 6. 分布式布拉格反射器（DBR）的工作原理是什么？其反射率与哪些参数相关？
答案： 1. 一对称定向耦合器，耦合系数$\kappa=2\pi×10^4 , \text{rad/m}$，无相位失配（$\delta=0$），若要实现100%功率转移，求耦合长度$l_c^{PM}$；若耦合器长度$l=50 , \mu\text{m}$，求耦合效率$\eta$。
答案： 2. 一光栅波导耦合器，光栅周期$\Lambda=500 , \text{nm}$，模式有效折射率$n_\beta=1.5$，求一阶布拉格波长$\lambda_B$（$q=1$）；若入射光波长$\lambda=1550 , \text{nm}$，判断是否满足相位匹配。
答案： 3. 一两模同向耦合系统，$\kappa_{ab}=\kappa_{ba}^*=10^4 , \text{rad/m}$，相位失配$\delta=5×10^3 , \text{rad/m}$，耦合器长度$l=100 , \mu\text{m}$，仅激发模式$a$，求耦合效率$\eta$。
答案： 4. 一DBR光栅，耦合系数$|\kappa|=5×10^3 , \text{rad/m}$，光栅长度$l=200 , \mu\text{m}$，求相位匹配时（$\delta=0$）的反射率$R_{DBR}$。
答案：二、计算题
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第四章 波与模式的耦合
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4.1 耦合波理论
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4.1.1 核心适用场景
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4.1.2 耦合波方程
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4.1.3 慢变振幅近似（SVA）
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4.2 耦合模理论
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4.2.1 核心适用场景
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4.2.2 基本假设与场展开
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4.2.3 耦合模方程
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4.2.4 关键特性
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4.3 双模耦合
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4.3.1 简化耦合模方程
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4.3.2 同向耦合（codirectional coupling）
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4.3.3 反向耦合（contradirectional coupling）
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4.3.4 相位匹配（phase matching）
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4.4 光耦合器
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4.4.1 光栅波导耦合器（grating waveguide couplers）
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4.4.2 定向耦合器（directional couplers）
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期末复习题（简答+计算）
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一、简答题
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特性
同向耦合
反向耦合
传播方向
两模式方向相同（$\beta_a,\beta_b>0$）
两模式方向相反（$\beta_a>0,\beta_b<0$）
求解类型
初值问题（已知$z=0$处振幅）
边值问题（已知$z=0$和$z=l$处振幅）
能量转移特性
周期性振荡，$\delta=0$时可完全转移
单向转移，$l\to\infty$时接近完全转移
典型应用
定向耦合器、光开关
DBR反射器、波长滤波器
二、计算题
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